Задача 109749

Темы:    [ Перебор случаев ] [ Математическая логика (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

Решение

Рассмотрим любые четыре подряд идущие монеты. Докажем, что среди них ровно одна трехкопеечная. Предположим противное. Если среди этих монет не оказалось ни одной трехкопеечной, то однокопеечные и двухкопеечные монеты чередуются, что невозможно. Двух трехкопеечных монет тоже не может быть, поскольку между ними должно быть хотя бы три монеты. Таким образом, среди первых 2000 монет ровно 500 трехкопеечных. Следовательно, всего трехкопеечных монет может быть 501 или 500. Оба ответа возможны, например,

3121312131213 .. 31213 и 2131213121312 .. 21312 .

Ответ

500 или 501.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	01.5.9.5