Задача 109779
|
|
|
Условие
Вписанная в тетраэдр ABCD сфера касается его граней ABC , ABD , ACD и BCD в точках D1 , C1 , B1 и A1 соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки A и плоскости B1C1D1 и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр ABCD .Решение
Первое решение. Обозначим вершины получающегося тетраэдра A2 , B2 , C2 и D2 . Тогда тетраэдры A1B1C1D1 и A2B2C2D2 гомотетичны, причем эта гомотетия переводит центр вписанной сферы тетраэдра ABCD в центр описанной сферы тетраэдра A2B2C2D2 . Покажем, что она переводит центр вписанной сферы тетраэдра ABCD в центр описанной сферы тетраэдра ABCD .
Заметим, что точка A2 – радикальный центр трех точек: B , C , D и вписанной в тетраэдр ABCD сферы, поскольку является точкой пересечения трех радикальных плоскостей (именно эти плоскости рассматриваются в задаче). В связи с этим точка A2 равноудалена от вершин B , C и D . Поэтому прямая, проходящая через A2 перпендикулярно плоскости BCD , проходит через центр описанной сферы ABCD .
Именно эта прямая является образом при гомотетии прямой, проходящей через A1 перпендикулярно BCD . Точка пересечения таких прямых – центр вписанной сферы ABCD – переходит таким образом в центр описанной сферы ABCD . Что и требовалось.
Второе решение. Пусть O , OA , OB , OC , OD – центры описанных сфер тетраэдров ABCD , BCDI , ACDI , ABDI , ABCI соответственно ( I – центр вписанной в ABCD сферы). Покажем, что O – центр описанной сферы тетраэдра OAOBOCOD .
Действительно, отрезки OOA , OOB , OAOB перпендикулярны плоскостям BCD , ACD , ICD соответственно, причем плоскость ICD составляет равные углы с плоскостями BCD и ACD ; поэтому Δ OOAOB равнобедренный, OOA=OOB . Остальные равенства получаются аналогично. Тогда тетраэдры A1B1C1D1 и OAOBOCOD гомотетичны.
Отложим от точки OA вектор
