Условие
Числовое множество
M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов
a,b,c из
M
число
a2
+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное
n , что для любого
a
из
M число
a
рационально.
Решение
Возьмем четыре различных числа
a,b,c,d
M .
Из рациональности чисел
d2
+ab и
d2
+bc
следует рациональность
bc-ab , откуда
a2
+ab=a2
+bc-(
bc-ab)
.
Аналогично,
b2
+ab
. Поэтому для произвольных различных
a,b
M число
q=
=

.
Тогда
a=qb
a2
+ab=b2(
q2
+q)
=l
,
b=
=
,
m,k
.
Значит, число
b
, где
n=mk , рационально.
Тогда
c
=
·
b

для любого
c
M .
Источники и прецеденты использования
|
олимпиада |
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
год |
Год |
2003 |
Этап |
Вариант |
5 |
Класс |
Класс |
10 |
задача |
Номер |
03.5.10.1 |