Задача 109780
|
|
 |
Условие
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов a,b,c из M
число a2+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a
из M число a рационально.
Решение
Возьмем четыре различных числа a,b,c,d M .
Из рациональности чисел d2+ab и d2+bc
следует рациональность bc-ab , откуда
a2+ab=a2+bc-(bc-ab)
.
Аналогично,
b2+ab
. Поэтому для произвольных различных
a,b
M число
q=
=
.
Тогда a=qb
a2+ab=b2(q2+q)=l
,
b=
=
,
m,k
.
Значит, число b
, где n=mk , рационально.
Тогда c
=
·
b
для любого c
M .
