Задача 109819

Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x,y неравенству

f²(x+y) f²(x)+2f(xy)+f²(y)?

Решение

Возьмем произвольно x₁0 и положим y₁= . Тогда f²(x₁+y₁) f²(x₁)+2f(1)+f²(y₁) f²(x₁)+a , где a=2f(1)>0 . Будем далее выбирать x_n=x_n-1+y_n-1 , y_n= , n2 . Тогда f²(x_n+y_n) f²(x_n)+a=f²(x_n-1+y_n-1)+a f²(x_n-1)+2a.. f²(x₁)+na . Ясно, что последовательность f(x₁) , f(x₂) , f(x_n) , неограничена.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	05.5.11.5