Задача 109826

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Периметр треугольника ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Окружности σ_B, σ_C – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ω_B симметрична σ_B относительно середины стороны AC, окружность ω_C симметрична σ_C относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω_B и ω_C, делит периметр треугольника ABC пополам.

Решение

  Пусть B₀, C₀ – середины сторон AC, AB соответственно, σ_A – третья вневписанная окружность, P и Q – точки пересечения ω_B и ω_C. Положим  AB = c,
BC = a,  CA = b.  Обозначим через I_A, I_B, I_C, J_B, J_C центры окружностей σ_A, σ_B, σ_C, ω_B, ω_C соответственно; через D, E, F точки касания σ_A, σ_B, σ_C и сторон BC, CA, AB; через E', F' – точки касания ω_B, ω_C и сторон CA, AB; через X, Y – точки касания σ_A и продолжений сторон AB, BC соответственно (см. рис.).

  Известно, что AD делит пополам периметр треугольника ABC (это следует из того, что  CD = ½ (a + c – b).  Поэтому достаточно показать, что A лежит на PQ, а  AD ⊥ J_BJ_C.
  Ясно, что E и E' симметричны относительно B₀. Следовательно,  AE' = CE = ½ (b + c – a).  Аналогично  AF' = ½ (b + c – a).  Получаем, что касательные к ω_B и ω_C, проведённые из точки A, равны. Поэтому A лежит на радикальной оси PQ окружностей ω_B и ω_C.
  Из симметрии следует, что AJ_BCI_B – параллелограмм, поэтому     Аналогично     Построим такую точку T, что BJ_CTC – параллелограмм.
  Получаем:     Так как AI_A  и I_BI_C являются внутренней и внешней биссектрисами угла BAC, то AI_A ⊥ I_BI_C. Аналогично  BI_B ⊥ I_CI_A,  CI_C ⊥ I_AI_B.  Следовательно,  I_AB = I_AI_B cos∠I_BI_AI_C,  I_AC = I_AI_C cos∠I_BI_AI_C.  Это означает, что треугольники I_ABC и I_AI_BI_C подобны. Заметим, что I_AD и I_AA – соответствующие высоты в подобных треугольниках I_ABC и I_AI_BI_C. Отсюда следует, что  I_AD : I_AA = BC : I_BI_C.
  Рассмотрим треугольники J_BJ_CT и ADI_A. Имеем:  J_BT || I_BI_C ⊥ I_AA,  J_CT || BC ⊥ I_AD,  J_CT : J_BT = BC : I_BI_C = I_AD : I_AA.  Отсюда следует, что треугольники I_BI_CT и I_ADA подобны, и их соответствующие стороны перпендикулярны. Итак,  J_BJ_C ⊥ AD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	05.5.10.4