ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109843
Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Решение

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что SD – высота в грани SAB . Так как SS' – диаметр окружности, проходящей через S , S' и A , то SAS' = 90o (см. рис.) . Обозначив через R и r соответственно радиусы описанной сферы пирамиды и вписанной окружности треугольника ABC , имеем S'A'2 = S'A2+AA'2 = (SS'2 - SA2) +AD2 = SS'2 - (SA2 -AD2) = SS'2 - SD2 = SS'2 - (SI2+ID2) = (2R)2 - SI2 - r2 . Аналогично вычисляя S'B' и S'C' , получаем, что S'A' = S'B' = S'C' = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.5.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .