Задача 109843

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Решение

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что SD – высота в грани SAB . Так как SS' – диаметр окружности, проходящей через S , S' и A , то SAS' = 90^o (см. рис.) . Обозначив через R и r соответственно радиусы описанной сферы пирамиды и вписанной окружности треугольника ABC , имеем S'A'² = S'A²+AA'² = (SS'² - SA²) +AD² = SS'² - (SA² -AD²) = SS'² - SD² = SS'² - (SI²+ID²) = (2R)² - SI² - r² . Аналогично вычисляя S'B' и S'C' , получаем, что S'A' = S'B' = S'C' = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.5.11.6