Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Комплект косточек домино выложен в виде прямоугольника 8×7 клеток.
Попробуйте определить, как расположены косточки?
Цена стандартного обеда в таверне "Буратино" зависит только от дня недели. Аня обедала 10 дней подряд, начиная с 10 июля, и заплатила 70 сольдо. Ваня также заплатил 70 сольдо за 12 обедов, начиная с 12 июля. Таня заплатила 100 сольдо за 20 обедов, начиная с 20 июля. Сколько заплатит Саня за 24 обеда, начиная с 24 июля?
Если Конек-Горбунок не будет семь суток есть, или спать, то лишится волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
|
|
 |
Условие
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
Решение
В решении латинскими буквами везде обозначены натуральные числа.
По условию, (x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ = y³, или 3x(x² + 2) = y³. Значит, y делится на 3, y = 3z и x(x² + 2) = 9z³. Очевидно, НОД(x, x² + 2) ≤ 2.
Пусть НОД(x, x² + 2) = 1. Тогда либо x = 9u³ и x² + 2 = v³, либо x = u³, x² + 2 = 9v³ при некоторых натуральных u, v. В первом случае 81u6 + 2 = v³, что невозможно, так как куб целого числа при делении на 9 даёт остаток 0 или ±1. Аналогично второе равенство влечёт, что u6 + 2 = 9v³, что невозможно по тем же причинам.
Итак, НОД(x, x² + 2) = 2, x(x² + 2) = 9z³. Тогда x (и, следовательно, z) чётно, поэтому x(x² + 2) делится на 8. Поскольку x² + 2 не делится на 4, получаем, что x делится на 4.
