Задача 109860

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Галочкин А.И.

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .

Решение

Предположим противное: cosα + cosβ + cosγ > . Тогда для векторов =( sinα , cosα ) , =( sinβ , cosβ ) и =( sinγ , cosγ ) имеем: 3<= |++|||+||+||=3 . Получили противоречие. Сумму

A=( sinα + sinβ + sinγ )²+( cosα + cosβ + cosγ)²
легко оценить сверху:
A=( sin²α + cos²α )+( sin²β + cos²β ) +( sin²γ + cos²γ )+ + 2( sinα sinβ + cosα cosβ) +2( sinα sinγ + cosα cosγ )+ + 2( sinβ sinγ + cosβ cosγ ) 3+3· 2=9.
Отсюда
( cosα + cosβ + cosγ)² =A-( sinα + sinβ + sinγ)² 9-4=5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	95.4.11.5