Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
|
|
 |
Условие
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Решение
Оценка. Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции есть корень её производной. Значит, многочлен P'(x) (степени n – 1) имеет n – 1 различных действительных корней, то есть не имеет кратных корней. Продолжая, получим, что тем же свойством обладают все производные многочлена P. Из этого следует, что из любых двух идущих подряд коэффициентов многочлена P хотя бы один не равен нулю. Действительно, если равны нулю коэффициенты при xk и xk+1, то у производной P(k) равны нулю свободный член и коэффициент при x. Но это значит, что 0 является кратным корнем P(k), что не так.
Разобьём коэффициенты многочлена на пары (оставив при чётном n старший коэффициент без пары). По доказанному число нулевых коэффициентов не превосходит числа пар, то есть n/2 при чётном и (n+1)/2 при нечётном n.
Примеры. Многочлены (x² – 1)(x² – 2²)...(x² – k²) степени n = 2k и x(x² – 1)(x² – 2²)...(x² – k²) степени n = 2k + 1 показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.
Ответ
n/2 при чётном n, (n+1)/2 при нечётном n.
