Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
На плоскости расположено [ n] прямоугольников со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник
пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется
прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
В блицтурнире принимали участие 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.
Известно, что многочлен (x + 1)n – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = xk + ck–1xk–1 + ck–2xk–2 + ... + c1x + c0 чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.
Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
|
|
 |
Условие
Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и
одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь
таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может
перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает
чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка
определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?
Решение
Обозначим монеты и их массы буквами A , B , C , D , E , F , G и H . Ясно, что если на
чашки весов положены по 4 монеты, то весы не могут оказаться в равновесии.
Заметим также, что если монеты разложены по чашкам поровну, то та чашка,
где лежит фальшивая монета, всегда либо перевешивает (если фальшивая
монета тяжелее настоящих), либо нет (если легче). Поэтому если одна и та
же монета при двух взвешиваниях, когда монеты были разложены по чашкам
поровну, однажды оказалась внизу, а однажды вверху, то она – настоящая.
Положим при первом взвешивании на левую чашку монеты A , B , C и D , на правую –
остальные, при втором взвешивании на левой чашке пусть будут A , B , E и F , а на
правой – остальные монеты. Не ограничивая общности рассуждений, можно
считать, что
и
В этом случае монеты C , D , E и F – настоящие и, если фальшивая монета тяжелее их, то это A или B , а если легче – то G или H . Третьим взвешиванием сравним массы A + G и B + H . Пусть, скажем, A + G > B + H (другой случай разбирается аналогично). Тогда монеты B и G – настоящие и четвертым взвешиванием следует сравнить A + H с B + G . Если A + H > B + G , то фальшивой и более тяжелой, чем настоящие, является монета A , а если A + H < B + G , то фальшивой и более легкой является монета H .
