ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109844
Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Гарбер А.

Известно, что многочлен  (x + 1)n – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = xk + ck–1xk–1 + ck–2xk–2 + ... + c1x + c0  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.


Решение

  Перепишем условие задачи в виде равенства  (x + 1)n – 1 = P(x)Q(x). Будем называть два многочлена  f и g похожими и обозначать  f ∼ g,  если коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов  f и g имеют одинаковую чётность. Тогда, если в верном равенстве мы заменим некоторые коэффициенты одного или нескольких многочленов на их остатки по модулю 2, то мы получим два похожих многочлена. Следовательно,
(x + 1)n – 1 ∼ (xk + xk–1 + ... + 1)Q(x).  Заменив в последнем равенстве переменную x на 1/x и домножив обе части на xn, получим
(x + 1)n – xn ∼ (xk + xk–1 + ... + 1)xn–kQ(1/x).  При этом  xn–kQ(1/x)  – некоторый многочлен от x степени, не превосходящей  n – k.
  Вычитая, имеем  xn – 1 ∼ (xk + xk–1 + ... + 1)R(x)  для некоторого многочлена R. Пусть n не делится на  k + 1,  тогда  n = q(k + 1) + r,  0 < r < k + 1.  Поэтому многочлен  xn – xr = xr(xq(k+1) – 1)  делится на  xk+1 – 1 ∼ (xk + ... + 1)(x – 1),  а значит,  xr – 1 = (xn – 1) – (xn – xr) ∼ (xk + ... + 1)R1(x)  для некоторого многочлена R1. Это невозможно, ибо степень многочлена  xr – 1  не больше степени многочлена  xk + ... + 1,  и они непохожи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.5.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .