Задача 109908

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Показательные неравенства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Дольников В.Л.

Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что  S(3ⁿ) ≥ S(3ⁿ⁺¹).

Решение

Пусть таких чисел конечное число, тогда для всех n, начиная с некоторого N,  S(3ⁿ) < S(3ⁿ⁺¹).  Но 3ⁿ, 3ⁿ⁺¹ делятся на 9, поэтому  S(3ⁿ)  и  S(3ⁿ⁺¹)  делятся на 9, значит,  S(3ⁿ) ≤ S(3ⁿ⁺¹) – 9.  Тогда  S(3^N+k) ≥ S(3^N) + 9k > 9k, следовательно, число 3^N+k имеет более k знаков: 3^N+k > 10^k.  Отсюда, при  k = N  получаем
3^2N > 10^N.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	97.4.11.3