Задача 109911

Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Четырехугольная пирамида ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Карасев Р.

Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 ) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

Решение

Предположим, что ABCD и SA₁A₂.. A_n – такие треугольная и n -угольная пирамиды, что четыре трехгранных угла с вершинами A_i , A_j , A_k , A_l n -угольной пирамиды равны трехгранным углам с вершинами A , B , C и D – треугольной. Тогда сумма всех плоских углов трехгранных углов с вершинами A_i , A_j , A_k , A_l равна 4· 180^o=720^o . С другой стороны, по свойству трехгранных углов, A_m-1A_m A_m+1< A_m-1A_m S+ A_m+1A_m S , поэтому A_i-1A_i A_i+1+ A_j-1A_j A_j+1+ A_k-1A_k A_k+1+ A_l-1A_l A_l+1<· 720^o=360^o . Но сумма всех углов многоугольника A₁ A₂.. A_n равна 180^o·(n-2) , поэтому сумма остальных n-4 углов многоугольника (без углов A_i , A_j , A_k , A_l ) больше 180^o(n-2)-360^o=180^o(n-4) , что невозможно, так как многоугольник – выпуклый.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	97.4.11.7