|
|
 |
Условие
а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
Решение
а) Занумеруем яблоки в порядке неубывания весов и положим в k-й пакет яблоки с номерами k и 301–k. Для любых двух пакетов получаем, что в одном из них – яблоки с весами a и d, в другом – с весами b и c, где a ≤ b ≤ c ≤ d. Имеем: a + d ≤ b + 2b ≤ 1,5c + 1,5b и b + c ≤ 2a + d ≤ 1,5a + 1,5d, что и требовалось.
б) Разобьём яблоки на пары, как в а). Аналогичная оценка показывает, что теперь веса пар различаются не более чем в 2 раза: a + d ≤ 4a ≤ 2b + 2c,
b + c ≤ 3a + d ≤ 2a + 2d. Проведём с парами яблок ту же процедуру. Согласно а) веса полученных четвёрок яблок различаются не более чем в 1,5 раза.
Замечания
Пункт а) предлагался на Всероссийской олимпиаде для 8 классов, а пункт б) – для 9-х.
