|
|
 |
Условие
Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.
Решение
Запрещённых сочетаний цифр конечное число, следовательно, есть такое число N, что все запрещённые сочетания цифр не длиннее N символов. В бесконечной десятичной дроби можно найти два одинаковых куска длины N. Пусть у разрешённой дроби a0,a1a2... куски ak...ak+N–1 и am...am+N–1 совпали. Докажем, что дробь 0,(ak...am–1) удовлетворяет условию. Предположим противное: в этой дроби есть запрещённые сочетания цифр. Возьмём то, которое встретится самым первым. Очевидно, что хотя бы один символ из данного запрёщенного сочетания цифр попадет в первый период. Но тогда конец этого сочетания цифр имеет номер не более m – 1 – k + N, то есть оно будет содержаться в куске ak...am+N–1 исходной дроби. Противоречие.
