ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109947
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Пятиугольники ]
[ Биссектриса угла ]
[ Неравенства для остроугольных треугольников ]
[ Теорема Хелли ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пятиугольнике A1A2A3A4A5 проведены биссектрисы l1, l2, ..., l5 углов A1, A2, ..., A5 соответственно. Биссектрисы l1 и l2 пересекаются в точке B1, l2 и l3 – в точке B2 и т.д., ..., l5 и l1 пересекаются в точке B5. Может ли пятиугольник B1B2B3B4B5 оказаться выпуклым?


Решение

Предположим, что пятиугольник B1B2B3B4B5 – выпуклый. Возьмём внутри него точку X и опустим из неё на прямые A1A2, A2A3, ..., A5A1 перпендикуляры XH1, XH2, ..., XH5 соответственно (см. рис.).

Из расположения X относительно биссектрис углов Ai следует, что  XH1 < XH2 < XH3 < XH4 < XH5 < XH1.  Противоречие.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 98.4.10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .