ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109950
Темы:    [ Формула Герона ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Губин Я.

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.

Решение

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике 2r<hb a , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть 2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью d>0 . Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p==3r+3d . Поскольку в любом треугольнике S=pr и S= , то pr= или pr2=(p-a)(p-b)(p-c) . Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим

(3r+3d)r2=(r+2d)(r+d)r,

откуда 3r=r+2d , т.е. r=d , так как r>0 , r+d>0 . Следовательно, стороны равны 3r , 4r , 5r .

Ответ

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 98.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .