ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109954
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?


Решение

  Пусть x1 – общий корень рассматриваемых трёхчленов, а x2 и x3 – два других (различных) корня. Тогда один из трёхчленов равен  (x – x1)(x – x2),  а другой –  (x – x1)(x – 3).
  Допустим, при каком-то натуральном n выполнены равенства  (n – x1)(n – x2) = 19  и  (n – x1)(n – x3) = 98.  Тогда целое число  n – x1  должно быть общим делителем взаимно простых чисел 19 и 98 и, значит, должно равняться 1 или –1. Но в обоих случаях  x1n – 1 ≥ 0,  что противоречит условию.


Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 98.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .