|
|
 |
Условие
На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек
можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных
окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.
Решение
Так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется
окружность O , на которой лежит не менее 5 точек. Рассмотрим
все точки множества, не лежащие на O . Если таких точек четыре
или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их
точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух
окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это
O . Значит, все наши точки лежат на другой окружности.
Пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек.
Возьмем пять точек
A1 , A5 на O и три точки B1 , B2 , B3 вне O .
Через точки B1 , B2 , B3 проходит единственная окружность O1 .
Возьмем точку B , отличную от точек
A1 , A5 , B1 , B2 , B3 .
По условию существуют две окружности O' и O'1 ,
содержащие все точки A1 , A2 , A5 , B1 , B2 , B3 , B .
Тогда опять одна из окружностей O' и O'1 совпадает с O .
Поскольку точки B1 , B2 , B3 не лежат на окружности O , все
они оказываются на той из окружностей O' или O'1 , которая
не совпадает с O , и эта вторая окружность тем самым совпадает
с O1 . Получается, что точка B лежит либо на O , либо
на O1 , что завершает доказательство.
