Задача 109963
|
|
 |
Условие
У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.
Решение
После первого раскулачивания у всех, кроме раскулаченного, число овец чётно, общее число овец тоже чётно, значит, и остаток у раскулаченного тоже чётен. Аналогично после второго раскулачивания у каждого число овец делится на 4, после седьмого – на 27 = 128. Это значит, что у одного из крестьян 128 овец, а у остальных – ничего.
