Задача 109999

Темы:    [ Описанные многогранники ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение ] [ Площадь сферы и ее частей ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

Решение

Первое решение. Если две большие грани не параллельны, то двугранный угол, содержащий эти грани, не может быть тупым (на рис. 1 приведены проекции сферы и этих двух граней на плоскость, перпендикулярную линии их пересечения, проекции больших граней выделены). Поэтому, если восставить перпендикуляр к каждой большой грани, идущий наружу от многогранника, то угол между любыми двумя такими перпендикулярами ( α на рис. 1) будет неострым.

Предположим, что утверждение задачи неверно и больших граней не менее 7. Тогда мы получаем 7 векторов ₁,..,₇ , углы между которыми не меньше 90^o (для параллельных граней такой угол равен 180^o ).

Отложим все векторы от одной точки P и проведем плоскость β , проходящую через P и не содержащую ни один из 7 векторов. Тогда по одну сторону от нее будут отложены по крайней мере 4 вектора (например, ₁,..,₄ ). Разложим каждый из них в сумму двух:
_i=_i+_i , где _i β , _iβ (см. рис. 2).
При этом можно считать, что ₁=₂=₃=₄= , где ||=1 . По нашему предположению (_i,_j)0 , так как углы между векторами не острые.

          
Рис. 1                  Рис. 2
С другой стороны, (_i,_j)=(_i+_i,_j+_j)= (_i,_j)+1 , так как (_i,_j)=(_j,_i)=0 , (_i,_j)=²=1 . Итак, для четырех векторов ₁,..,₄ , лежащих в плоскости β , (_i,_j)<0 , что невозможно, так как угол хотя бы между двумя из них не тупой. Противоречие, значит, наше предположение о наличии у многогранника 7 больших граней неверно. 6 больших граней есть у куба.

Второе решение. Пусть R – радиус шара. Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием – проекция шара на эту грань. Указанная часть сферы является сферической шапочкой (т.е. частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты h=R(1-/2) . По известной формуле площадь такой шапочки равна 2π Rh=π R²(2-) . Так как указанные шапочки не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы. Обозначив количество больших граней через n , получим n(2-) 4 , т.е. n . Решение заканчивается проверкой того, что <7 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	99.4.11.4