ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109999
Темы:    [ Описанные многогранники ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

Решение


Первое решение.
Если две большие грани не параллельны, то двугранный угол, содержащий эти грани, не может быть тупым (на рис. 1 приведены проекции сферы и этих двух граней на плоскость, перпендикулярную линии их пересечения, проекции больших граней выделены). Поэтому, если восставить перпендикуляр к каждой большой грани, идущий наружу от многогранника, то угол между любыми двумя такими перпендикулярами ( α на рис. 1) будет неострым.

Предположим, что утверждение задачи неверно и больших граней не менее 7. Тогда мы получаем 7 векторов 1,..,7 , углы между которыми не меньше 90o (для параллельных граней такой угол равен 180o ).

Отложим все векторы от одной точки P и проведем плоскость β , проходящую через P и не содержащую ни один из 7 векторов. Тогда по одну сторону от нее будут отложены по крайней мере 4 вектора (например, 1,..,4 ). Разложим каждый из них в сумму двух:
i=i+i , где i β , iβ (см. рис. 2).
При этом можно считать, что 1=2=3=4= , где ||=1 . По нашему предположению (i,j)0 , так как углы между векторами не острые.

          

Рис. 1                  Рис. 2

С другой стороны, (i,j)=(i+i,j+j)= (i,j)+1 , так как (i,j)=(j,i)=0 , (i,j)=2=1 . Итак, для четырех векторов 1,..,4 , лежащих в плоскости β , (i,j)<0 , что невозможно, так как угол хотя бы между двумя из них не тупой. Противоречие, значит, наше предположение о наличии у многогранника 7 больших граней неверно. 6 больших граней есть у куба.

Второе решение.
Пусть R – радиус шара. Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием – проекция шара на эту грань. Указанная часть сферы является сферической шапочкой (т.е. частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты h=R(1-/2) . По известной формуле площадь такой шапочки равна 2π Rh=π R2(2-) . Так как указанные шапочки не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы. Обозначив количество больших граней через n , получим n(2-) 4 , т.е. n . Решение заканчивается проверкой того, что <7 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 99.4.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .