ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 86993

Темы:   [ Описанные многогранники ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру AB и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60o . Известно, что вершины A , B , C и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре AB , и найдите высоту пирамиды.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64732

Темы:   [ Описанные многогранники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Поверхность выпуклого многогранника A1B1C1A2B2C2 состоит из восьми треугольных граней AiBjCk, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109999

Темы:   [ Описанные многогранники ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65206

Темы:   [ Вписанные многогранники ]
[ Описанные многогранники ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73549

Темы:   [ Раскраски ]
[ Описанные многогранники ]
[ Выпуклые тела ]
[ Касательные к сферам ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .