Задача 86993

Темы:    [ Описанные многогранники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру AB и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60^o . Известно, что вершины A , B , C и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре AB , и найдите высоту пирамиды.

Решение

Пусть A1 , B1 и C1 – середины боковых рёбер SA , SB и SC соответственно. Тогда A1B1 , B1C1 и A1C1 – средние линии треугольников ASB , BSC и ASC , поэтому

A1B1 || AB, B1C1 || BC, A1C1 || AC.
Плоскость боковой грани ASB пересекает указанную сферу по окружности, описанной около трапеции AA1B1C , значит, эта трапеция – равнобедренная, т.е. AA1 = BB1 . Аналогично, AA1 = CC1 . Поэтому AS = BS = CS . Значит, высота SH пирамиды проходит через центр описанной окружности треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника CHS находим, что
CH = SC cos 60^o = SC = AB.
Тогда
AH + BH = CH + CH = 2CH = AB,
значит, точка H лежит на отрезке AB и является его серединой. Кроме того, AB = SC = SA = SB , поэтому треугольник ASB равносторонний и
HA1= HB1 = HA = HB = HC = HC1
( HC1 – медиана прямоугольного треугольника CHS , проведённая к гипотенузе). Следовательно, H – центр сферы, проходящей через точки A , B , C , A1 , B1 и C1 , а
SH = HC tg CHS = 1· tg 60^o = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7190