Задача 65206

Темы:    [ Вписанные многогранники ] [ Описанные многогранники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Решение

  Первый способ. Отличный от куба шестигранник, в каждой вершине которого сходятся по три ребра (назовём его кубоидом), можно получить из правильного тетраэдра следующим образом. Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с центром O и правильный тетраэдр ACB₁D₁ (см. рис.).

  Две плоскости, параллельные ABCD и касающиеся вписанной сферы тетраэдра ACB₁D₁, отсекают от этого тетраэдра две части. Оставшаяся часть тетраэдра представляет собой пример кубоида, удовлетворяющего условию задачи. Его вершины – это вершины двух прямоугольников (два сечения тетраэдра плоскостями), в силу симметрии все они равноудалены от центра куба O, который также является центром вписанной сферы для тетраэдра (а значит, и для построенного кубоида).

  Второй способ. Возьмём в некоторой плоскости прямоугольник с центром O и сторонами a и b  (b ≥ a),  повернём его относительно точки O на 90° и поднимем на высоту h над этой плоскостью (рис. слева). Получим новый прямоугольник с центром O'.

  Восемь вершин двух прямоугольников (исходного и полученного) являются вершинами некоторого кубоида. Все эти вершины лежат на сфере с центром в середине отрезка OO'. Выберем h так, чтобы сфера с центром в середине отрезка OO' и радиуса ^h/₂ касалась боковых граней кубоида. Для этого рассмотрим его сечение плоскостью, проходящей через прямую OO' параллельно какой-нибудь паре сторон прямоугольника. Оно представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями a и b, в которую вписана окружность диаметра h (рис. справа). Боковые стороны этой трапеции равны ^a+b/₂, поэтому   .

Ответ

Неверно.

Замечания

1. Отметим, что усечённый правильный тетраэдр из первого способа и куб – частные случаи построенного во втором способе кубоида.

2. На Турнире городов задача предлагалась в следующей формулировке.
  Как известно, если у четырёхугольника существуют вписанная и описанная окружности и их центры совпадают, то этот четырёхугольник – квадрат. А верен ли аналог этого утверждения в пространстве: если у кубоида существуют вписанная и описанная сферы и их центры совпадают, то этот кубоид – куб? (Кубоид – это многогранник, у которого шесть четырёхугольных граней и в каждой вершине сходится три ребра.)

3. 10 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	7
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	11
задача
Номер	6