Задача 110011
|
|
 |
Условие
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если 1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z, то для любого натурального k выполнено неравенство x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.
Решение
Так как xyz = 1, то неравенства
1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z и (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≤ 0 равносильны.
Действительно, из того, что 1/x = yz, 1/y = xz, 1/z = xy и
xyz = 1 следует, что они оба равносильны неравенству yz + xz + xy ≥ x + y + z.
Кроме того, числа t – 1 и tk – 1 имеют при k > 0 одинаковый знак. Поэтому
1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z ⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≤ 0 ⇔ (xk – 1)(yk – 1)(zk – 1) ⇔ x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.
