Задача 110024

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Решение

Возьмём  a₁ = –7,  a₂ = –6,  ...,  a₁₀ = 2.  Графики функций  (x – a₁)...(x – a₁₀)  и  (x + a₁)...(x + a₁₀)  пересекаются в пяти точках:
x = 0, ±1, ±2  (см. рис.). Сократив на общий множитель,  (x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)  получаем:  (x + 7)(x + 6)...(x + 3) = (x – 7)(x – 6)...(x – 3),  то есть
(7 + 6 + 5 + 4 + 3)x⁴ + (7·6·5 + 7·6·4 + ... + 5·4·3)x² + 7·6·5·4·3 = 0.  Это уравнение корней не имеет, так как левая часть, очевидно, положительна.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.4.11.1