|
|
 |
Условие
Миша решил уравнение x² + ax + b = 0 и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?
Решение
Предположим, что найдутся два различных уравнения x² + ax + b = 0 с корнями c, d и x² + a1x + b1 = 0 с корнями c1, d1, для которых совпадают наборы, указанные в условии. Тогда a + b + c + d = a1 + b1 + c1 + d1. По теореме Виета c + d = – a и c1 + d1 = – a1, поэтому b = b1. Так как рассматриваемые уравнения различны, a ≠ a1. Без ограничения общности можно считать, что a1 = c. Тогда либо a = c1 и d = d1, либо a = d1 и d = c1. В любом случае d – общий корень наших уравнений: d² + ad + b = 0 и d² + cd + b = 0. Вычитая, получим (a – c)d = 0. Так как a ≠ c, то d = 0. Значит, b = 0, а это противоречит тому, что все числа набора различны.
Ответ
Сможет.
Замечания
Если числа в наборе могут совпадать, то утверждение неверно: у уравнений x² + 2x = 0 и x² – 2x = 0 одинаковые наборы из корней и коэффициентов.
