Задача 110056
|
|
 |
Условие
Приведённый квадратный трёхчлен f(x) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет три различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 – семь различных корней?
Решение
Пусть x1, x2, x3 – корни уравнения f(f(x)) = 0. Корни уравнения f(f(f(x))) = 0 являются решениями уравнений f(x) = x1, f(x) = x2 и
f(x) = x3. Каждое из этих квадратных уравнений имеет не более двух корней. Значит, уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более шести корней.
Ответ
Не может.
Замечания
Приведённость трёхчлена f, разумеется, несущественна. То, что он имеет два корня, тоже можно не требовать: если у f менее двух корней, то многочлен f(f(x)) имеет не более двух корней.
