Задача 110058

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

Дана последовательность {x_k} такая, что x₁=1 , x_n+1=n sin x_n+1 . Докажите, что последовательность непериодична.

Решение

Предположим, что она периодична и длина периода равна T , тогда x_m+T=x_m и x_m+T+1=x_m+1 при m m0 . Если при некотором m m0 sin x_m 0 , то x_m+T+1=(m+T) sin x_m+T+1=(m+T) sin x_m+1 m sin x_m+1=x_m+1 . А если sin x_m=0 , то x_m+1=1 , и sin x_m+1= sin 1 0 , так что предыдущее рассуждение применимо к x_m+1 . Таким образом, получаем противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	01.4.11.5