Условие
Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра
в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются,
то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры
вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Решение
Пусть
A1
– центр вписанной окружности
Δ SBC ,
B1
– центр вписанной окружности
Δ SAC ,
AA1
пересекается с
BB1
A ,
A1
,
B1
,
B
лежат в одной плоскости, значит прямые
AB1
и
BA1
пересекаются
на ребре
SC . Пусть точка пересечения этих прямых –
P .
Так как
AP и
BP – биссектрисы углов
A и
B , то
=
=
. Но тогда
AC· BS=BC· AS , отсюда
=
, следовательно,
биссектрисы углов
S в
Δ ASB и
C в
Δ ACB пересекаются на
ребре
AB , т.е. точки
S ,
C и центры вписанных окружностей
Δ ASB и
Δ ACB лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие
вершины
S и
C с центрами вписанных окружностей противолежащих граней,
пересекаются.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2001 |
|
Этап |
|
Вариант |
4 |
|
Класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
01.4.11.6 |
