ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110079
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Пятиугольники ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Джукич Д.

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

Решение



Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник ABCDE , удовлетворяющий условиям задачи. Не умаляя общности, можно считать, что угол A – наибольший, а угол D – наименьший (любую пару несмежных вершин можно перевести в эту переобозначениями).

Заметим, что EAC= A- BAC= A- ACB> C- BCA= ACD .

Предположим, что лучи AE и CD пересекаются в точке X . Тогда в треугольнике ACX сторона CX больше стороны AX , так как против нее лежит больший угол. Тогда DX=CX-CD=CX-AE>AX-AE=EX , поэтому 180o- E>180o- D , что противоречит минимальности угла D .

Случай, когда прямые AE и CD пересекаются с другой стороны от ED , аналогичен.
В случае AE|| CD легко прийти к противоречию следующим образом. Заметим, что ACDE – ромб, Δ ABC – равносторонний, и тогда D< E A=60o+D< C=60o+ E .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 01.4.8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .