Задача 110081

Темы:    [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Уравнения с модулями ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

Решение

Пусть  x₀ = –  ^f/_e.  Тогда  0 = |ex₀ + f| = |ax₀ + b| + |cx₀ + d| ≥ 0.  Значит,  ax₀ + b = cx₀ + d = 0,  следовательно,  x₀ = – ^b/_a = – ^d/_c,  поэтому  ^b/_a = ^d/_c,  или
ad = bc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	01.4.8.5