Задача 110089

Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Итерации ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Рубанов И.С.

Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  P(P(x)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  P(x) = 0.

Решение

  Пусть x₁, ..., x_n – все различные корни уравнения  P(x) = 0.  Нам необходимо доказать, что уравнение  P(P(x)) = 0  имеет по крайней мере n различных корней.
  Рассмотрим n уравнений:  P(x) = x₁,  P(x) = x₂,  ...,  P(x) = x_n.  Каждое из них имеет решение, так как P(x) – многочлен нечётной степени. Пусть a₁ – корень первого уравнения, a₂ – второго, ..., a_n – n-го. Тогда для любых i и j  (i ≠ j)  числа a_i и a_j различны, так как
P(a_i) = x_i ≠ x_j = P(a_j).  При этом каждое из чисел a_i является корнем уравнения  P(P(x)) = 0.  То есть уравнение  P(P(x)) = 0  имеет по крайней мере n различных корней a₁, ..., a_n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	02.4.11.5