Задача 110094
|
|
 |
Условие
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Решение
По принципу Дирихле среди m² + 1 точек с целыми координатами найдутся такие две точки (k, l) и (k1, l1), что k ≡ k1 (mod m) и l ≡ l1 (mod m). Тогда точки 0 ≤ i ≤ m, имеют
целые координаты и лежат на отрезке, соединяющем точки (k, l) и (k1, l1).
Замечания
Утверждение справедливо для выпуклого многогранника в пространстве с заменой m² + 1 на m³ + 1.
