|
|
 |
Условие
Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных
целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
Решение
Пусть трёхчлен f(x) принимает простые значения в точках n – 1, n и n + 1. Те же значения он принимает в точках, симметричных указанным относительно оси параболы y = f(x). Эти симметричные точки также целые, так как по условию абсцисса вершины параболы целая или полуцелая. Отсюда следует утверждение задачи, если точка K(n, f(n)) не является вершиной параболы.
Если K(n, f(n)) – вершина параболы, то f(x) = (x – n)² + p, причём числа f(n) = p и f(n + 1) = p + 1 – простые. Значит, p = 2, p + 1 = 3. Но тогда и
f(n + 3) = 3² + 2 = 11 – простое число.
