В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 7,2-1,92t+0,128t² , где t  — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

   Решение

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Решение

  Пусть трёхчлен f(x) принимает простые значения в точках  n – 1,  n и  n + 1.  Те же значения он принимает в точках, симметричных указанным относительно оси параболы  y = f(x).  Эти симметричные точки также целые, так как по условию абсцисса вершины параболы целая или полуцелая. Отсюда следует утверждение задачи, если точка  K(n, f(n))  не является вершиной параболы.
  Если  K(n, f(n))  – вершина параболы, то  f(x) = (x – n)² + p,  причём числа  f(n) = p  и  f(n + 1) = p + 1  – простые. Значит,  p = 2,  p + 1 = 3.  Но тогда и
f(n + 3) = 3² + 2 = 11  – простое число.

Источники и прецеденты использования