ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110112
Тема:    [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)

Решение

  Пусть наблюдатель находится в точке O, а "Запорожец" и "Нива" в момент проезда "Москвича" мимо наблюдателя – в точках Z0 и N0 соответственно. Через Z1 и M1 обозначим точки, где находились соответственно "Запорожец" и "Москвич" в тот момент, когда мимо наблюдателя проезжала "Нива", а через M2 и N2 – точки, где находились соответственно "Москвич" и "Нива", когда с наблюдателем поравнялся "Запорожец".
  В силу постоянства скоростей  Z0Z1 : Z0O = OM1 : OM2Z0Z1 : Z1O = ON0 : ON2,  откуда  OM2 = Z0O·OM1/Z0Z1ON2 = ON0·OZ1/Z0Z1 .
  По условию  Z0O = ON0  и  OM1 = OZ1,  следовательно,  OM2 = ON2,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 02.4.8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .