|
|
 |
Условие
На плоскости отметили n (n > 2) прямых, проходящих через одну точку O таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.
Решение
Назовём 2n углов, на которые отмеченные прямые делят полный
угол, элементарными, а две отмеченные прямые, образующие элементарный угол, – соседними.
Поскольку внутри элементарных углов отмеченные прямые не проходят, для любых двух соседних прямых отмеченной будет прямая, делящая пополам вторую пару
образованных ими углов (смежных с элементарными). Если эту прямую повернуть
на 90° вокруг точки O, она будет делить пополам пару элементарных углов. Прямых, делящих пополам элементарные углы, столько же, сколько
отмеченных, поэтому если совокупность всех отмеченных прямых повернуть на 90° вокруг точки O, она перейдёт в совокупность всех прямых, делящих пополам элементарные углы.
Пусть α – наибольший из элементарных углов, а β и γ – соседние элементарные углы, биссектрисами которых становятся после поворота на 90° стороны угла α.
Очевидно, угол α равен полусумме углов β и γ, откуда, в силу максимальности α, следует, что α = β = γ.
Поворачивая теперь на 90° в обратном направлении углы β и γ, получим, что максимальными являются также элементарные углы, граничащие с α.
Но если элементарные углы, граничащие с максимальным, также максимальны, то все элементарные углы равны между собой.
