Задача 110146

Темы:    [ Необычные конструкции ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Рубанов И.С.

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

Решение

Занумеруем числа набора в порядке возрастания: 0<a1<a2<..<a2003.
Поскольку суммы a2003+a1 , a2003+a2002 в набор входить не могут, в него входят разности a2003-a1, a2003-a2002 .
Все эти 2002 разности различны и меньше, чем a2003 . Поэтому a2003-a1=a2002, a2003-a2=a2001 , a2003-a2002=a1.

Далее, поскольку a2002+a2>a2002+a1=a2003 , в набор входит разность a2002-a2 . По тем же причинам в набор входят разности a2002-a3 , a2002-a2001 .

Всего таких разностей 2000, все они различны и меньше, чем a2001 (ибо a2001=a2003-a₂>a2002-a₂ ). Поэтому a2002-a2=a2000, a2002-a2001=a1.

Возьмем произвольное 2 k 2001 . Тогда a2003-a_k=a2003-k и a2002-a_k=a2002-k , откуда a2003-k-a2002-k=a2003-a2002=a1 .

Таким образом, a1=a2003-a2002=a2002-a2001=a2001-a2000=..=a2-a1 , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	03.4.8.8