Задача 110156

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Токарев С.И.

Набор пятизначных чисел {N₁ , N_k} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N₁ , N_k . Найдите наименьшее возможное значение k .

Решение

Набор с указанными свойствами не может состоять из одного числа. В самом деле: для каждого N= имеется различающееся с N во всех разрядах число G= , где g – цифра, отличная от нуля и от a , b , c , d , e . Покажем, что числа N₁= 13579 и N₂= 12468 образуют набор, удовлетворяющий условиям задачи.

Пусть A= – произвольное число, для цифр которого выполнены неравенства 1 a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ .

Тогда, если A не совпадает в разряде единиц ни с N₁ , ни с N₂ , то a₅ 7 и, следовательно, a₄ 7 ; если при этом нет совпадений и в разряде десятков, то a₄ 5 и a₃ 5 .

Если, кроме того, нет совпадений и в разряде сотен, то a₃ 3 , откуда a₂ 3 ; предположив еще, что a₂ 2 и a₂ 3 , придем к равенству a₁ =1 , означающему совпадение A с N₁ (и с N₂ ) в самом старшем разряде.

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.4.10.6