ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110165
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?


Решение 1

  Пусть в 17.00 "Ауди" (А) находился на расстоянии x, а БМВ (Б) – на расстоянии 2x от перекрестка (П), v – скорость автомобилей. Если бы в 17.00 А и Б уже проехали П, то в 18.00 они были бы на расстоянии  x + v  и  2x + v  от П, но отношение этих расстояний не равно 2. Аналогично невозможно, чтобы в 18.00 автомобили двигались в сторону П. Значит, какой-то из них пересёк перекресток между 17.00 и 18.00. Это не мог быть Б, так как если А пересекает П позже, то в 17.00 Б ближе к П, чем А; а если А пересекает П раньше, то в 18.00 А находится дальше от П, чем Б. Значит, между 17.00 и 18.00 А пересёк П, а Б – нет.
  Тогда в 18.00 А находился на расстоянии  z – x  от П, а Б – на расстоянии  2x – v  (если он двигался в 18.00 к перекрёстку), либо  2x + v  от П. В первом случае  2x – v = 2(v – x),  то есть  3v = 4x.  Во втором –  2x + v = 2(z – x),  то есть  v = 4x.  Значит, в 18.00 А находился либо на расстоянии x/3, либо на расстоянии 3x от П и поэтому он пересек П либо в 17.45, либо в 17.15.


Решение 2

  То, что дороги перпендикулярны, не имеет никакого значения: прямую, по которой движется БМВ (B) можно повернуть на 90°, при этом расстояние от B до перекрёстка не изменится. Сделать это можно так, что A ("Ауди") и B будут двигаться в одном направлении. Посмотрим на ситуацию с точки зрения водителей: автомобили стоят на месте, а точка перекрёстка (P) движется. В 17 и 18 часов точка P проходит через точки P1 и P2, которые делят отрезок AB в отношении 1 : 2 (внутренним и внешним образом соответственно). При этом  AP1 = ⅓ AB,  AP2 = AB,  то есть  AP1 : AP2 = 1 : 3.  Значит, если точка P в 17.00 проходит через P1, а в 18.00 – через P2, то она пройдёт через точку A в 17.15. Если же P в 17.00 проходит через P2, а в 18.00 – через P1, то она пройдёт через точку A в 17.45.


Ответ

В 17.15 или в 17.45.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 04.4.8.1
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .