ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110167
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.


Решение

  Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, CA, AB треугольника ABC, B2 и B3 – проекции точки B1 на стороны BA и BC(см. рис.), AA', BB' и CC' – высоты треугольника ABC.

  Тогда B1B2 – средняя линия треугольника ACC', то есть  B1B2 = ½ CC'.  Аналогично,  B1B3 = ½ AA'  и, значит,  BB1 = ½ (AA' + CC').
  Аналогично   CC1 = ½ (AA' + BB'),  AA1 = ½ (BB' + CC'),  откуда  AA1 + BB1 + CC1 = AA' + BB' + CC'.  Но AA1 – наклонная, AA' – перпендикуляр, то есть
AA1AA', причём равенство выполняется только если A1 совпадает с A'.
  Если хотя бы одно из трёх подобных неравенств строгое, то   AA1 + BB1 + CC1 > AA' + BB' + CC',  что неверно.
  Значит, A1 совпадает с A', то есть медиана является высотой, поэтому  BA = CA.  Аналогично  AB = BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 04.4.8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .