ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110169
Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Может ли в наборе из шести чисел  (a, b, c, a²/b, b²/c, c²/a},  где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?


Решение

  Пусть среди чисел a, b, c есть различные, и пусть для определенности a – наибольшее из этих чисел (или одно из наибольших). Если  a > b,  то  a²/b > a.  Иначе  a = b > c,  и тогда  b²/c > b = a.  Итак, наибольшее из данных шести чисел больше наибольшего из чисел a, b, c. Аналогично наименьшее из данных шести чисел меньше наименьшего из чисел a, b, c. Итого получаем не менее четырёх различных чисел.
  Если же числа a, b, c одинаковы, то все шесть чисел набора совпадают.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 04.4.8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .