Задача 110195
|
|
 |
Условие
Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.
Решение
Обозначим через S(A) сумму цифр числа A. Из рассмотрения сложения в столбик двух чисел A и B следует, что S(A + B) ≤ S(A) + S(B), причём равенство достигается в том и только в том случае, когда при сложении нет переносов через разряд.
Тем самым, из условия задачи вытекает, что при сложении 5N + 5N = 10N нет переносов через разряд, поскольку S(10N) = S(N) = 100. Но число 5N оканчивается на 5 или на 0 в случае соответственно нечётного и чётного N. Первый случай отпадает, так как возникает перенос в последнем разряде.
