Задача 110197

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Неравенство Коши ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Найдите все такие пары  (x, y)  натуральных чисел, что  x + y = aⁿ,  x² + y² = a^m  для некоторых натуральных a, n, m.

Решение

По условию  a²ⁿ = x² + y² + 2xy = a^m + 2xy > a^m,  значит,  a²ⁿ делится на a^m.  Следовательно, и 2xy делится на  a^m = x² + y².  Получаем, что
2xy ≥ x² + y² ≥ 2xy .  Отсюда  x² + y² = 2xy,  x = y.  Следовательно,  2x = aⁿ,  2x² = a^m,  откуда  4x² = a²ⁿ,  2 = a^2n–m.  Окончательно,  a = 2, x = y = 2^k,  где
k ≥ 0.

Ответ

(2^k, 2^k),  где  k ≥ 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	8
задача
Номер	05.4.8.7