Задача 110201
|
|
 |
Условие
Произведение квадратных трёхчленов x² + a1x + b1, x² + a2x + b2, ..., x² + anx + bn равно многочлену P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n, где коэффициенты c1, c2, ..., c2n положительны. Докажите, что для некоторого k (1 ≤ k ≤ n) коэффициенты ak и bk положительны.
Решение
Если bk ≤ 0 при некотором k, то трёхчлен x² + akx + bk имеет неотрицательный корень. Этот же корень имеет и многочлен P(x). Противоречие, поскольку P(x) > 0 при x ≥ 0. Таким образом, все коэффициенты bk положительны. Кроме того, a1 + a2 + ... + an = c1 > 0, поэтому хотя бы один из коэффициентов ak положителен.
