Задача 110204

Темы:    [ Биссекторная плоскость ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Симметрия относительно плоскости ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Бадзян А.И.

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

Решение

Продолжим отрезок AB' до пересечения с плоскостью BCD в точке B'' . Так как плоскости (BCD) и (ACD) симетричны относительно биссекторной плоскости, то AB'=B'B'' . Аналогично по точкам C' и D' строим точки C'' и D'' . При гомотетии с центром A и коэффициентом плоскость (B''C''D'') переходит в плоскость (B'C'D') , поэтому (B'C'D')|| (B''C''D'')=(BCD) , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.6