Задача 110207

Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Решение

Рассмотрим числа от 100 до 200. Так как их всего 101, то какие-то три из них попадут в одно множество. Сумма любых двух из этих трёх чисел больше 200, и, следовательно, больше третьего числа. Значит, существует треугольник с соответствующими длинами сторон.

Замечания

На Математической регате последняя фраза условия была другой:
  "Всегда ли хотя бы в одном из множеств найдутся три числа, являющиеся длинами сторон какого-либо треугольника?"

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.1
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.1
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2.3