ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110210
Темы:    [ Тригонометрические неравенства ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

Решение

Поскольку функция синус нечетная и имеет период 2π , можно считать, что 0<x<π.
Если x , то подойдет n = 1.
Если 0 < x < , то, последовательно откладывая углы x, 2x, nx, мы когда-нибудь выйдем из промежутка (0;); а поскольку шаг меньше , то мы при этом попадем в уже рассмотренный промежуток [; ].
Если же x () , то, учитывая равенство | sin nx|=| sin n(π -x)| , этот случай сводится к случаю x(0;).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.5
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .