Задача 110210

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Богданов И.И., Храбров А.

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

Решение

Поскольку функция синус нечетная и имеет период 2π , можно считать, что 0<x<π.
Если x , то подойдет n = 1.
Если 0 < x < , то, последовательно откладывая углы x, 2x, nx, мы когда-нибудь выйдем из промежутка (0;); а поскольку шаг меньше , то мы при этом попадем в уже рассмотренный промежуток [; ].
Если же x (;π) , то, учитывая равенство | sin nx|=| sin n(π -x)| , этот случай сводится к случаю x(0;).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.5
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.5