Задача 110225

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Медиану AA₀ треугольника ABC отложили от точки A₀ перпендикулярно стороне BC во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через A₁. Аналогично строятся точки B₁ и C₁. Найдите углы треугольника A₁B₁C₁, если углы треугольника ABC равны 30°, 30° и 120°.

Решение

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BB₀ – серединный перпендикуляр к основанию AC. Значит, B₁ лежит на этом перпендикуляре и  CB₀ ⊥ BB₁.  Таким образом, CB₀ – высота и медиана треугольника BCB₁, откуда BC = B₁C,  а так как  ∠B₁BC = ½ ∠B = 60°,  то треугольник B₁BC – равносторонний.
A₀, будучи серединой стороны BC является основанием высоты этого треугольника. Следовательно, точки A₁ и B₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Аналогично, C₁ и B₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Значит,  ∠C₁B₁A₁ = 180° – B = 60°,
B₁A₁ = B₁A₀ + A₀A₁ = B₁A₀ + A₀A = B₁C₀ + C₀C = B₁C₀ + C₀C₁ = B₁C₁,  то есть треугольник A₁B₁C₁ – равнобедренный с углом при вершине 60°.

Ответ

Все углы равны 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	06.4.8.7